I’d better の後には何が省略されていますか？

what you put on your backはどういう意味ですか？

この「what you put on your back」は、彼女が「back」に着ている服、もっと具体的に言えば、彼女が着ているセーターを指しています。シャツやセーターを指して「what you put on your back」と言うのも一般的なのですが、代わりに「what you wear」と言う方が一般的でしょう。

「cool one's heels」はどういう意味ですか？

「Cool one's heels」は待つ、または時間をつぶすを指す慣用句です。しかし、ここでは「cool one's heels」を「go and rest」という意味で誤って使用しています。「Cool your heels」は、現在の英語ではほとんど使われていない古い慣用句です。

putとpayの違いは何ですか？

この文での、"put" は実際には支払いという意味ですが、トイレに行くためにお金を投入します。ガチャガチャのようにです。商品を出すためにコインを穴に入れ（put）ます。商品やサービスの代金を穴に入れてお金を払い（pay）ます。コインパーキングもお金を払うためにコインを精算機に入れて（put）払います。このような意味となります。

ここでPieceは何を意味していますか？best adviceとの違いはなんですか？

ご質問にお答えするためには、「piece of advice」の意味を考えることが重要だと思います。「piece of advice」とは、何かについての1つの略式のアドバイスを意味します。ここでの「piece」は、「a fragment」「a part」「a portion」を意味します。「the best advice」と「the best piece of advice」はかなり似た意味ですが、通常、「the best advice」は複数のアドバイスを、「the best piece of advice」は1つのアドバイスを意味します。 例: The best piece of advice I have ever received was to slow down.（私が今までに受けた最高のアドバイスは、スピードを落とすことでした。） 例: He received some advice from his boss about how to do his job better.（彼は上司から仕事をもっとうまくやるためのアドバイスを受けた。） 例: Can I give you a piece of advice?（アドバイスをしてもいいですか？） 例: She gives the best parenting advice.（彼女は最高の子育てのアドバイスをしてくれます。）

"if the shoe fits"の意味を教えてください。

「If the shoe fits」は慣用句で、他者から批判された人に対して、その批判を受け入れるべきだ、と言う時に使います。英国では「if the cap fits.」と言います。 例: If the shoe fits, then Obama should wear it.（批判に思い当たる節があるのなら、オバマはその意見を受け入れるべきです。）