No sé bien qué papel cumple "with" aquí.
Respuesta de un hablante nativo
Rebecca
Aquí, "with" es una preposición que muestra posesión. Está diciendo que cuando se despertó, todavía le quedaban tres días antes de la fecha límite. Ej: "Go talk to the man with the hat, maybe he can help you." (Ve a hablar con el hombre del sombrero, quizá te pueda ayudar.) Ej: "I was born with curly hair." (Nací con el pelo rizado.)