En esta frase, ¿"by the way" hace referencia a "sin embargo"?
Respuesta de un hablante nativo
Rebecca
"By the way" aquí se utiliza para dar a conocer información extra a alguien o para hablar de algo que se te acaba de ocurrir. Es similar a la palabra "additionally". Ej: "By the way, I'm allergic to fish." (Por cierto, tengo alergia al pescado.) Ej: "Oh, by the way, I have a funny story about that." (Ah, por cierto, tengo una historia divertida que contar sobre ello.)