"math"와 "mathematics" 사이에 차이가 있을까요?

Not only he has homered라고 해도 되나요?

Not only가 문장 앞에 나오면서 뒤에 주어와 동사가 따라오는 경우, Not only + 동사 + 주어의 형태로 도치가 됩니다. Not이라는 부정어가 문장 앞에 나오기 때문에 그렇습니다. 따라서 "He has not only homered, but he's (also) tied the game."이 올바른 문장이 됩니다.

여기서 what is it은 말 그대로 '이게 뭐야'라는 뜻은 아닌 것 같은데 무슨 뜻이고 언제 쓸 수 있죠?

네, 맞아요. What is it?은 문자 그대로의 의미로 해석할 수는 없어요. 왜냐하면, what is it?은 걱정스러운 의미를 포함하는 what's wrong?, 또는 약간의 짜증이 섞인 what do you want?의 의미로도 쓸 수 있기 때문이죠. 실제로 사용할 때의 의미는 그 사람의 말투를 통해서 확인할 수 있답니다. 예: What is it, honey? You look sad. Do you have something you want to tell me? (무슨 일이야, 여보? 슬퍼 보이는 걸. 뭔가 말하고 싶은 거라도 있어?) 예: A: Boss, can I talk to you for a second? (잠시 얘기 좀 괜찮을까요?) B: What is it? I'm really busy right now. (뭔가? 지금 굉장히 바쁘다만.)

무언가를 Actively하게 한다는 게 무슨 의미인가요?

Actively는 의도적으로, 힘차게, 적극적으로 라는 뜻을 가지고 있습니다. 여기서 no one... actively hates me라고 말한 건 no one vigorously/especially hates me와 같은 뜻이에요. 아무도 특별히 나를 싫어하지 않는다는 뜻이죠. 하지만 많은 경우에 actively는 솔선해서 행동하는 것을 의미해요. 예를 들어서 a compnay is actively trying to recruit you라고 한다면, 회사가 나서서 당신이 그 회사에 입사하도록 행동을 한다는 뜻이 되는 거죠. 예: I don't actively look for new friends, I just seem to meet new people naturally. (난 적극적으로 새로운 친구를 사귀려고 하지 않아. 그냥 자연스럽게 새로운 사람들과 만나는 것 같아.) 예: Are you going to actively pursue this man? He seems like he's hard to approach. (적극적으로 이 남자에게 다가갈 생각이야? 다가가기 힘든 느낌이 드는데.)

여기에서 bit은 꼭 필요한가요? 무슨 뜻이죠?

네, 여기서 bit은 꼭 필요해요. 이 bit은 part(부분), section(섹션)을 의미하는 단어예요. 예: I liked the bit in my book that talked about cooking. (나는 책의 요리에 대한 부분이 마음에 들었어.) 예: Please act out a bit from a movie for your audition. (오디션으로 영화의 일부를 연기해 보세요.)

take down은 무슨 뜻인가요? 이게 구동사 같은 게 아니라면 왜 여기서 down이 쓰인 건지도 궁금해요.

네, 여기서는 구동사로 보기가 어려워요. 여기서 talk는 bring과 비슷한 뜻이고, down은 부사로 멀거나, 남쪽으로 향함을 나타냅니다. 보통 take [someone] down [somewhere]은 누군가를 그 장소로 데려가는 것을 의미해요. 예: I'm going down to the shops quickly. Need anything? (그 가게 얼른 다녀올 건데, 뭐 필요한 거 있어?) 예: She's down by the harbor sailing her boat. (그녀는 항구에서 보트를 타고 있다.) 예: I'll take her down to the school for volleyball practice. (배구 연습을 위해 그녀를 학교에 데려다 줄게.)