¿Cuál es la diferencia entre "Is that her heart?" y "That thing's her heart?"?

¿Se podría decir "I'm very so sorry"?

No, esta es una forma de pedir perdón exagerada y el "so" debería ir antes del "very". La única manera de utilizar esta expresión sería "I'm so very sorry". En otros casos en los que desees utilizar "so" y "very" juntos, el "so" debe ir siempre en primer lugar. Ej: "I'm so very sorry for accidentally hitting your car." (Siento muchísimo haber chocado sin querer con tu coche.) Ej: "I'm so very sorry for coming late." (Siento muchísimo haber llegado tarde.)

¿Qué significa "garden shed"?

"Garden shed" es una edificación que sirve para almacenar herramientas de jardinería como la cortadora de cesped, palas, el rastrillo, macetas, tierra, etc. la gente normalmente tiene casetas ("garden sheds"), si tienen algo de terreno. Ej: "Can you get the rake out of the garden shed for me? I need to rake these leaves." (¿Puedes traerme el rastrillo de la caseta? Tengo que quitar esas hojas.)

¿Qué significa "human trafficking"?

"Human trafficking" hace referencia al transporte ilegal de personas o al hecho de obligar a personas a trabajar o a proveer algún servicio, normalmente de tipo: fuerza de trabajo, esclavitud o explotación sexual. Por ejemplo, el hecho de transportar a gente para forzarlos a trabajar en un país extranjero por poco o nada de dinero es a lo que se llama "human trafficking" (tráfico de personas). Ej: "Human trafficking increases as poverty and economic instability rise." (El tráfico de personas aumenta a medida que crece la inestabilidad económica y de la pobreza.) Ej: "The trafficking of humans is illegal in every country in the world, but it still occurs on a large scale." (El tráfico de personas es ilegal en todos los países del mundo, pero todavía sigue dándose a gran escala.)

¿Estaría bien decir "lie down" en vez de "lay down" aquí?

Sí, sería correcto. La persona que habla debería haber utilizado "lie down", ya que se está refiriendo al hecho de acostarse con alguien, expresión en la que se suele utilizar el verbo "lie" (a menos de que esté conjugado en el pasado, que entonces sería "lay"). Ambos verbos son similares, por eso a veces la gente los confunde. Ej: "Lie down on the bed." (Túmbate en la cama.) Ej: "Lay the book down on the table." (Deja el libro en la mesa.)

Esta frase me parece incorrecta gramaticalmente. ¿Es así?

Esta frase no es correcta gramaticalmente. Para que lo fuera, debería decir "what do you have?". El emisor habla utilizando una jerga concreta e informal.