He visto que algunos estudiantes llaman a la asignatura de matemáticas como "Algebra" en Estados Unidos, ¿acaso "algebra" significa lo mismo que "math"?

¿Es correcta la gramática de esta frase? ¿Se podría decir "not only he has homered"?

Gramaticalmente, la frase es correcta. "Not only" se puede utilizar al principio de una frase para expresar que no solo está esa cosa, sino que todavía hay algo más. Otro ejemplo es "Not only did I make dinner, but I also made dessert". También se podría decir la frase como "He has not only homered, but he's (also) tied the game".

No creo que "what is it" aquí sirva para preguntar nada. Me gustaría saber el significado de esto y cuándo se puede utilizar.

Tienes razón. "What is it?" aquí no se utiliza de manera literal. En inglés se puede utilizar para preguntar qué es lo que va mal, como "What's wrong?" (para mostrar preocupación) o "What do you want?" (mostrando algo de enfado). La manera en la que suena dependerá del tono de voz que se utilice al decirlo. Ej: "What is it, honey? You look sad. Do you have something you want to tell me?" (¿Qué pasa, cariño? Pareces triste. ¿Hay algo que me quieras contar?) Ej: A: "Boss, can I talk to you for a second?" (Jefe, ¿puedo hablar contigo un momento?) B: "What is it? I'm really busy right now." (¿Qué pasa? Ahora mismo estoy bastante ocupado.)

¿Qué significa hacer algo Actively?

Activelysignifica intencional, vigorosa y activamente. Cuando digo no one... actively hates meaquí, quiero decir lo mismo que no one vigorously/especially hates me. Significa que nadie me odia particularmente. Pero en muchos casos, activelysignifica tomar la iniciativa. Por ejemplo, si dices a compnay is actively trying to recruit you, significa que la empresa va a intervenir y conseguir que te unas a la empresa. Ejemplo: I don't actively look for new friends, I just seem to meet new people naturally. (No estoy tratando activamente de hacer nuevos amigos, simplemente conozco gente nueva de forma natural). Ejemplo: Are you going to actively pursue this man? He seems like he's hard to approach. (¿Vas a acercarte activamente a este tipo?

¿Es necesario el "bit" en esta frase? ¿Qué significa?

Sí, "bit" es necesario aquí. "Bit", aquí, significa "part" (parte) o "section" (sección). Ej: "I liked the bit in my book that talked about cooking." (Me gustó el trozo del libro en el que se habla de cocina.) Ej: "Please act out a bit from a movie for your audition. " (Por favor, representa un trozo de la película para tu casting.)

¿Qué significa "take down"? Si no es un verbo compuesto o algo así, ¿entonces por qué se utiliza "down" aquí?

No funciona como verbo compuesto, pero aquí "take" es similar a "bring" y "down" es el adverbio que indica un lugar que está a cierta distancia hacia el sur. Normalmente, "to take [someone] down [somewhere]" significa llevarlo a algún lado. Ej: "I'm going down to the shops quickly. Need anything?" (Voy a ir rápidamente a la tienda. ¿Necesitas algo?) Ej: "She's down by the harbor sailing her boat." (Está abajo, en el puerto, navegando en su barco.) Ej: "I'll take her down to the school for volleyball practice." (Voy a llevarla a la escuela a practicar volley.)