「cheer for」の意味を教えてください。これは句動詞ですか。また「cheer up」とは違うのでしょうか。

なぜWayを入れるのですか？ なくても文法的に成り立つ気がします。

'Way'がなくても文章は成り立ちます。この場合の'Way' は、"a lot"を意味する副詞として使用されています。 例：I was way ahead of him.

「back in the days」とはどのような意味ですか。

「Back in the days」とは、過去のある時期、通常は歴史上のある期間を表す際に使われる表現です。この動画の場合、人々が一般的にマットレスで寝る前の時代のことを指しています。この表現は、その時代を説明する叙述語と共に使われることがほとんどです。 例：Back in the days of no electricity, people used candles for light. （電気が無かった時代は、ろうそくを明かりに使っていた。） 例：Back in the days of feudalism, people often had short lifespans. （封建制度の時代、人々はしばしば短命だった。） 似た表現としては、「back in the day（複数形『days』ではない）」も過去のある時期を表すのに使われますが、これは過去を懐かしく思い返したり回想したりするとき（通常、自分の子ども時代や青年時代について話すとき）によく使われます。 例：Back in the day, we used to ride around the city on bikes. （あの頃はよく自転車で街じゅうを走ったものだ。） 例：Back in the day, I used to go to the pool with my family in the summer. （昔は夏によく家族でプールに行っていたものだ。）

「revenge」、「retaliation」、「vengeance」の違いを教えてください。

いい質問ですね！「revenge」は復讐を、「vengeance」は復讐という行為を指します。また、「with a vengeance」は激しく、徹底的にという意味になります。これに対して「retaliation」は、必ずしも「revenge」のように復讐という意味合いがあるわけではなく、単にやり返すことを意味します。ただ、これも「revenge」の一種ではありますね。 例: When someone yells at you, don't retaliate by shouting back.（怒鳴られても怒鳴り返してはいけない。） 例: The new rule is a retaliation from the teachers since a few students got in trouble yesterday.（昨日数人の生徒が問題を起こしたので、その復讐として教師が新しいルールを作った。） 例: I'll take revenge by pranking him.（彼にいたずらをして復讐します。） 例: I want vengeance for the pain he caused.（彼から受けた苦痛に対して復讐をしたい。） 例: She reentered the competition with a vengeance.（彼女はリベンジで競技に再挑戦した。）

untoと、一度も聞いたことがないもですが、まだ使われる単語ですか？

いいえ。今は使いません。untoは中世時代の英語です。聖書やシェイクスピア文学のように、英語で書かれた古い文章で見ることができます。

「individuals」の方が「people」よりもフォーマルな言葉でしょうか。その場合、「individuals」はフォーマルな場面で使うのがより適切になるのでしょうか。

この二つは似た言葉ですが、単に人々を意味する「people」とは違って、「individuals」は個々人を強調します。ここでは「each person」と言い換えることもできるでしょう。しかし、おっしゃるように、「individulas」の方がフォーマルに聞こえます。 例: I got everyone individual presents.（それぞれみんなにプレゼントを用意した。） 例: Each person had something to say.（一人一人に対して言いたいことがあった。）=> ここでは「individual」は使えない。 例: I supervise individuals in the company.（私は会社で社員たちを監督しています。）