「run out of」の意味を教えてください。

Not only he has homered としても良いですか？

Not onlyが文章の前に出て、後ろに主語と動詞がついてくる場合、Not only + 動詞 + 主語という形で倒置となります。Notという否定語が文章の前に出てくるためです。したがって"He has not only homered, but he's (also) tied the game."が正しい文章になります。

ここでの「what is it」は文字通りそれが何かを聞いているわけではないですよね。この意味とどのような場面で使われるかを知りたいです。

その通りです。ここでの「What is it?」は文字通りの意味で使われているわけではありません。ネイティブスピーカーは「What is it?」を心配を表す「What's wrong?」や、多少の苛立ちを表す「What do you want?」という意味で使うことがあります。これは言い方によって聞こえ方が異なります。 例：What is it, honey? You look sad. Do you have something you want to tell me? （どうしたの、あなた？悲しそうだよ。私に何か言いたいことがあるの？） 例： A: Boss, can I talk to you for a second? （ボス、ちょっと話せますか。） B: What is it? I'm really busy right now. （何だ？今手が離せないんだ。）

「do something "actively"」とはどのような意味ですか。

「Actively」とは意図的に、精力的に、積極的にという意味です。ここでの「no one ... actively hates me」は「no one vigorously/especially hates me（誰も特に私を嫌っていない）」という意味ですね。ただし多くの文脈では、「actively」は率先して何かをするという行動を指します。例えば「a company is actively trying to recruit you」とは、あなたがその会社に入社するよう会社がすすんで行動を起こしているという意味です。 例：I don't actively look for new friends, I just seem to meet new people naturally. （私は積極的に新しい友達をつくろうとしない、ただ自然に新しい人との出会いがあるんだ。） 例：Are you going to actively pursue this man? He seems like he's hard to approach. （積極的にこの男性に言い寄るつもり？彼は近寄りがたい感じがする。）

ここでbitは必ず必要ですか？どういう意味で使われていますか？

はい、この「bit」は必要です。この「bit」は「部分」や「セクション」を意味します。 例: I liked the bit in my book that talked about cooking.（私は本の中の料理についての部分が好きでした。） 例: Please act out a bit from a movie for your audition.（オーディションとして、映画の一部を演じてみてください。）

「take down」の意味を教えてください。これは句動詞ではないのでしょうか。それならなぜ「down」と言っているのでしょうか。

はい、これは句動詞というわけではありません。この「take」は「bring」のような意味で、「down」は遠いもの、南に向かうことを指す副詞です。通常「take [someone] down [somewhere]」は「その場所に連れて行く」という意味になります。 例: I'm going down to the shops quickly. Need anything?（急いで買い物に行ってくる。何か必要なものは？） 例: She's down by the harbor sailing her boat.（彼女は港でボートに乗っている。） 例: I'll take her down to the school for volleyball practice.（バレーボールの練習のために彼女を学校まで連れていくよ。）