「under the impression」とは「think（思う）」ということですか？

all about somethingという表現はどう使えばいいですか?

何かについて「all about」というのは、そのことが本当に好き、または楽しんでいるという意味です。 例: 例: I'm all about basketball, it's my favorite sport.（私はバスケットボールが大好きです。一番好きなスポーツです。） 例: She's all about reading, I haven't ever seen her without a book.（彼女は読書が大好きで、本を持っていない彼女を見たことがありません。）

彼はなぜインターネットについて話しているのですか。

断言はできませんが、「go home ... high-speed internet」というのは彼が悲しみと孤独の中で一人になるために、他の人から孤立する方法のことを言っているのだと思います。まるで外で人と一緒にいるよりも、家に帰って一人でインターネットをしている方が好きだと言っているように聞こえますね。脈絡なく「high-speed internet」と言うのは少し乱暴な気もしますが、歌詞の他の部分を考えると、おそらく彼が世界から孤立していることを表しているのでしょう。

二重否定になりませんか？

その通りですね！「didn't never」は間違いなく二重否定で文法的に間違っています。正しくは「For some reason, Jenny didn't ever want to go home」になります。映画「フォレスト・ガンプ」を観たことがある人は、映画を通してフォレストというキャラクターが不正確な話し方をしていることに気づくかもしれません。これはフォレストというキャラクターを描くための表現です。

「come on」は文脈によって違った意味やニュアンスになるようですが、説明していただけますか？

おっしゃる通り、「come on」は文脈によって違ったニュアンスになります。この文脈では、「let's go」や「hurry up」と同じ意味です。彼らは危険を避けようとして急いでいるので、この意味になるとわかりますね。他の文脈では、誰かに対する怒りや困惑を表すのに使うこともあるでしょう。それらの場合、声の調子や「come」の強調具合からそれを判断することができます。 例: Come on! We're going to be late for the meeting.（急いでくれよ！会議に遅れてしまうよ。） 例: Oh come on, you seriously didn't hear what I just said?（おやおや、私の言ったことを真剣に聞いていなかったね？）

訳としてはDesperatelyは、saidではなくneededにかかっているのでは？

"Desperately"は必死に、絶望的にという意味を持つ副詞です。 したがって、この場合には数学サークルが本当に真剣にメンバーを必要とすると述べています。 例: I desperately need a job. (私は職業が切実に必要だ。) 例: He desperately needs a drink. (彼は飲み物が切に欲しい。)