この場合のasはどういう役割(意味)を持っているのですか？

「lay low」とはどのような意味ですか。

「lay low」とは、目立たないようにする（静かにしている）、または自分に注目が集まらないようにするという意味です。似たような表現に「stay lowkey」があります。 例: I got into a fight with my parents, so I'm going to stay lowkey for a while.（親と喧嘩したから、しばらくは大人しくしておくよ。） 例: The police put out an arrest warrant for the criminal, so he decided to lay low for the time being.（警察が犯人の逮捕状を出したので、しばらくはおとなしくしていることにした。）

この歌詞の「this thing」は何のことを言っているのですか。

「This thing」というのは癖、特に過去の経験からわかる習慣のことを言っています。ここでは過去の経験や状況から見て明らかにずっとそうだった、だから彼女は年はとっても賢くはならないということを言っています。 例: I have this thing where I bite my nails when I'm nervous. （私は緊張すると爪を噛んでしまうという癖があります。） 例: She has this thing where she doesn't respond to anyone when she's overwhelmed. （彼女は手に負えないことが起こると誰に対しても応答しなくなるという癖がある。）

sayが現在形なのはどうしてですか？

動詞「twist」＋ingで文全体が現在進行形になっているので、ここでは「say」が現在形になっています。彼は何かが起こったこと、起こり続けていることについて話しているので、すでに何かを「said」してはいるのですが、現在形の「say」を使うことができます。

「名詞+free」とは、そのものを含まないという意味ですよね。他の例を教えてください。

はい、その通りです！特に食べ物に対して使うことが多く、他には「colorant-free」（着色剤不使用）、「sugar-free」（砂糖不使用）、「dairy-free」（乳製品不使用）、「egg-free」（卵不使用）などと言うことがあります。 例: This custard is egg-free since you have an egg allergy.（君が卵アレルギーだから、このカスタードは卵を使っていないものなんだ。） 例: I'm dairy intolerant. Is this dairy-free?（私は乳糖不耐症なんです。これは乳製品不使用ですか？）

この場合のasはどういう役割(意味)を持っているのですか？

これは前の文の続きであり、新しい文が始まっているわけではありません。ですから、ここでの全文は「they are best known for their traditional role as fire dogs」ということになります。ここでの「as」は、ダルメシアンが消防犬であることを指しています。