どういうジョークですか？ 発言が江戸時代のようだ、と揶揄してるのでしょうか？

この場面での「pass」とはなんでしょうか。

ここでの「pass」とは、彼女がクラスの一員であることを示す書類のことだと思います。ベラにとっては新しい学校での初日なので、これはトイレの「pass」でも廊下の「pass」でもないでしょう。他の国でどうなのかわかりませんが、アメリカでは生徒は特定のクラスに在籍しており、先生はそれぞれのクラスの生徒のリストを持っています。ベラは、自分がこの学校の生徒であること、このときはこのクラスにいることになっていることを先生に見せるためにパスが必要だったのでしょう。

「Capitol Hill」とはなんですか。

「Capitol Hill」は、アメリカ合衆国の国会議事堂（アメリカ政府の立法府）があるワシントンD.C.の丘です。政府にとって重要な場所であり、アメリカ人なら誰でも知っている有名な場所です。

don’t youとはどういう意味ですか。

「don't you」とは単なる「don't」の別の言い方です。こちらのほうがよりカジュアルなニュアンスがあり、何かをしないように助言するという行為に強調を加えます。 例: Don’t you think about eating any snacks before dinner.（夕食の前におやつを食べようなんて思っちゃだめだよ。） 例: Don’t you dare think about skipping any more classes.（これ以上授業をさぼろうだなんて思っちゃだめだよ。）

cozyの意味は何ですか?

「Cozy」は「心地いい」という意味です。 例: My bed is cozy because it is covered with blankets and pillows. （私のベッドは毛布と枕で覆われているので居心地がよい。） 例: My new sweater is cozy. （新しいセーターは着心地がいい。）

「good morning/afternoon/night」から「good」を省略しても構わないのでしょうか。これは一般的な表現ですか。

はい、「good」を省略すると、よりカジュアルに挨拶をすることができます！親しい人に挨拶したり、仕事以外などの日常的な場面で挨拶したりするのによい表現です。 例: Morning! Did you sleep well?（おはよう！よく眠れた？） 例: Night, sleep tight!（おやすみ、よく寝るんだよ！）