「on」は始めるという意味ですか。

「それ以来」や「その時から」と英語で言いたいことがよくありましたが、本文のようにever since と言えば良いですか？他の言い方もありますか？ from that timeなどと言っていましたが、それでも通じますか？

いい質問ですね！「ever since」と同じ意味のフレーズは他にもありますし、過去のある時点から現在に至るまで何らかの行動が継続していることを表すフレーズもあります。「from that time on」の方が多少一般的ですが、「from that time」と言うこともできます。また、「from then on」や「since that point」と言うことも可能です。この2つと「ever since」の違いは、通常、前者2つが文頭に来ることはないのに対して、「ever since」は文頭に置くことができるということです。 例: Ever since I first drank coffee a year ago, I've had it every day.（1年前に初めてコーヒーを飲んで以来、毎日飲んでいる。） 例: I first tried papayas last month and from that time on, I've eaten them every day.（1ヶ月前に初めてパパイヤを食べて以来、毎日食べている。） 例: She swam in the ocean last week and from then on, she's swam every morning.（彼女は先週初めて海で泳いで以来、毎朝泳いでいる。）

この文は「it is」が抜けていますか。「Because it is critical thing...」の方が文法的に正しいと思われるのですが。

その通りです、彼はこの文章で「it is」を省略したようです。「The critical thing we must do to stop the disease spreading between households is to stay at home」と言っていたら、文法的に正しくなったでしょう。 しかし文末で家にいる理由が省かれているので、文法的な間違いがあり、ここでは「it is」を使用するべきでした。

duty-freeってどういう意味ですか?

「Duty-free（免税品）」とは、税金を支払うことなく国に持ち込める物品を意味します。 例：We bought a load of duty-frees at the airport. (空港で免税品をしこたま買い込んだ。)

No4の前にaが来るのは何故ですか？

ホット100の「No.4」は、誰かに属するものではないため、非特定的な単数名詞となりますので、ここでは不定冠詞の「a」が使われています。

short of timeという表現でも伝わりますか？

「short of time」という言い回しはなく、この場合は「a short amount of time」と同じ意味でもないので、ここで「short of time」と言うのは正しくないでしょう。もし「of」を省略して「short time」と言えば、これは文法的に正しいので、ここで置き換えることができますが、「short amount of time」のほうが一般的です。ここでの「amount」という単語は時間が短いことを強調しているので、この文脈では重要です。 例: She's grown a lot in a very short time.（彼女はとても短い時間で大きく成長しました） 例: He ate his meal in a very short amount of time.（彼は非常に短い時間で食事を食べた）