Incrementはincreaseの名詞形ですか？

「doctor」も「professor」も、博士号を取得していますよね。なのに、どうして「doctor」と「professor」はまったく別の言葉になるのでしょうか。

学術機関では、「professor」（教授）は「doctor」（博士）よりも上位のランクです。「professor」は博士号を持っているかもしれませんが、必ずしも「doctor」とは呼ばれないでしょう。パワーパフガールズに出てくる「professor」は、研究所で量子物理学を教えています。また、医師ではないけれど、博士号を持っているので「doctor」と呼んでほしいという先生も何人か知っています。 例: The professor liked the presentation I gave on physics the other day in class!（教授は、私が先日授業で行った物理学に関するプレゼンテーションを気に入ってくれたようです！） 例: I have a doctorate in chemistry, but you don't have to call me doctor.（私は化学の博士号を持っていますが、ドクターと呼ぶ必要はありませんよ。）

「give me a break」の意味を教えてください。

「give me a break」とは「go easy on me」の別の言い方で、あまり厳しくしないでくれ、プレッシャーを与えないでくれという意味になります。また、憤慨している時や不信感を抱いている時にも使うことがあります。 例: Oh, give me a break. You'll never be as good as I am.（ああ、勘弁してくれ。君みたいにはなれないよ。） 例: I haven't played the flute in a while. Give me a break!（しばらくフルートを吹いていないんだ。お手柔らかに頼むよ！） 例: Give him a break. He's still learning how to do the job.（手加減してやってくれ。彼はまだ仕事のやり方を学んでいるところなんだ。）

ここでのhandleはどういう意味ですか。

「handle」は、何かを扱う、何かの責任を負うという意味です。この動画では、彼女はグルーとミニオンズを止めようとすることに自分が対処すると言っています。 例: She said she will handle our taxes this year.（彼女は今年の税金を処理すると言っていました） 例: I will only take on what I can handle.（私は自分のできることだけを引き受けます） 例: He is handling the news very well.（彼はニュースをうまく処理しています）

stay asleepとstay sleepだとどのような意味の違いがあるのでしょうか？

眠り続けるという行為についての話であれば、「stay asleep」あるいは「stay sleeping」のみが適切な表現です。「stay sleep」は文法的に間違っているので、「stay sleeping」としてください。もっとも自然な表現は「stay asleep」です。 例: I sleep so deeply, I can stay asleep even through a hurricane.（眠りがとても深いので、ハリケーンの中でだって眠っていられる。） 例: I sleep so deeply, I can stay sleeping even through a hurricane.（眠りがとても深いので、ハリケーンの中でだって眠っていられる。）

ここで「little」と言っている理由はなんですか。未成年の男性を指すには「boy」だけで十分ではないでしょうか。

おっしゃる通りです！ですが、強調表現として、または対象の子供が10歳にも満たない幼い子供だということを示すために、「boy」や「girl」に「little」が付け加えられるのはよくあることです。この動画では、かつては「shy」だった男の子が今や成人の男性だという変化の大きさを強調するのに「little」と付け加えているのでしょう。 例: I wanted to be a ballerina when I was a little girl.（子供の頃はバレリーナになりたかった。） 例: My brother used to cling to me as a little boy, but now he is over six feet tall and rarely talks. How times change!（私の弟が小さい頃は、私にくっついていたものだけど、今や身長も6フィートを超えたし、ほとんど話もしなくなったわ。時は経つものね！）